Class Bezier

n次Bézier曲线

一般定义

Bézier曲线可以定义为任意度n。

n次Bézier曲线关于t的导数

一般定义

Bézier曲线可以定义为任意度n。

n次Bézier曲线关于t的dn阶导数

Bézier曲线可以定义为任意度n。

n次Bézier曲线关于t的二阶导数

一般定义

Bézier曲线可以定义为任意度n。

立方Bézier曲线

平面中或高维空间中（其实一维也是成立的，这里就是使用一维计算）的四个点P0，P1，P2和P3定义了三次Bézier曲线。 曲线开始于P0朝向P1并且从P2的方向到达P3。通常不会通过P1或P2; 这些点只是为了提供方向信息。 P1和P2之间的距离在转向P2之前确定曲线向P1移动的“多远”和“多快” 。

对于由点Pi，Pj和Pk定义的二次Bézier曲线，可以将Bpipjpk(t)写成三次Bézier曲线，它可以定义为两条二次Bézier曲线的仿射组合：

B(t) = (1 - t) * Bp0p1p2(t) + t * Bp1p2p3(t) , 0 <= t && t <= 1
Copy

曲线的显式形式是：

B(t) = (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) * p0 + 3 * (1 - t) * (1 - t) * t * p1 + 3 * (1 - t) * t * t * p2 + t * t * t * p3 , 0 <= t && t <= 1
Copy

对于P1和P2的一些选择，曲线可以相交，或者包含尖点。

三次Bézier曲线相对于t的导数是

B'(t) = 3 * (1 - t) * (1 - t) * (p1 - p0) + 6 * (1 - t) * t * (p2 - p1) + 3 * t * t * (p3 - p2);
Copy

三次Bézier曲线关于t的二阶导数是

6 * (1 - t) * (p2 - 2 * p1 + p0) + 6 * t * (p3 - 2 * p2 + p1);
Copy

三次Bézier曲线关于t的导数

三次Bézier曲线关于t的二阶导数

获取曲线在指定插值度上的导数(斜率)

查找区间内极值列表

获取单调区间列表

获取曲线样本数据

这些点可用于连线来拟合曲线。

获取曲线在指定插值度上的二阶导数

获取目标值所在的插值度T

获取曲线在指定插值度上的值

线性Bézier曲线 给定不同的点P0和P1，线性Bézier曲线就是这两个点之间的直线。曲线由下式给出

B(t) = p0 + t * (p1 - p0) = (1 - t) * p0 + t * p1 , 0 <= t && t <= 1
Copy

相当于线性插值

线性Bézier曲线关于t的导数

线性Bézier曲线关于t的二阶导数

合并曲线

合并两条连接的曲线为一条曲线并且可以还原为分割前的曲线

二次Bézier曲线

二次Bézier曲线是由函数B（t）跟踪的路径，给定点P0，P1和P2，

B(t) = (1 - t) * ((1 - t) * p0 + t * p1) + t * ((1 - t) * p1 + t * p2) , 0 <= t && t <= 1
Copy

这可以解释为分别从P0到P1和从P1到P2的线性Bézier曲线上相应点的线性插值。重新排列前面的等式得出：

B(t) = (1 - t) * (1 - t) * p0 + 2 * (1 - t) * t * p1 + t * t * p2 , 0 <= t && t <= 1
Copy

Bézier曲线关于t的导数是

B'(t) = 2 * (1 - t) * (p1 - p0) + 2 * t * (p2 - p1)
Copy

从中可以得出结论：在P0和P2处曲线的切线在P 1处相交。随着t从0增加到1，曲线沿P1的方向从P0偏离，然后从P1的方向弯曲到P2。

Bézier曲线关于t的二阶导数是

B''(t) = 2 * (p2 - 2 * p1 + p0)
Copy

二次Bézier曲线关于t的导数

二次Bézier曲线关于t的二阶导数

分割曲线

在曲线插值度t位置分割为两条连接起来与原曲线完全重合的曲线